线性代数的基础知识

1. 如果函数$z=f(x,y)$ 在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数存在，那么这个偏导数称作函数z对自变量x的偏导数，记作$\frac{\partial z}{\partial x}$, $\frac{\partial f}{\partial x}$ , $z_x$ ,$f_x(x,y)$ , y 同理
2. 偏导数反映的是函数沿坐标轴方向的变化率
3. 图像的边缘部分的梯度值较大，梯度的方向是函数f(x,y)变化最快的方向
4. 平滑区域的灰度值很小，梯度值也很小，近乎可以为0
5. 梯度是向量的一种，向量又称为矢量，数学上常用一条有方向的线段来表示向量，
6. 梯度的幅值表示边缘的强度信息，$$magnitude=\sqrt{Gra{d}_x^2+Gra{d}_y^2}$$
7. 将$magnitude$与原来数字图像中每个像素点对应的值相加，那么图像的边缘就会被大大加强，轮廓会更加明显
8. 梯度方向与x轴的夹角大小 $$\theta =\arctan (\frac{Gra{d}_y}{Gra{d}_x})$$
   向量可以用坐标来表示，向量之间的加减即坐标之间的加减，向量与数之间的乘法即数与坐标之间的乘积
9. 设向量$\vec r = (x,y,z) $向量的模可以用坐标表示为$$\vert r| = \sqrt{ x^2+y2+z^2} $$, $ (x,y,z)$分别为向量$\vec r $ 到三个坐标轴的距离，向量$\vec r $的方向就是从原点出发到点(x,y,z)的方向
10. 如果函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$可微分，那么函数在该点沿任一方向$\ell$的方向导数都存在，且有$$\frac{\partial f}{\partial \ell }{\mid }_{(x_0,y_0)}=f_x(x_0,y_0)\cos \alpha +f_y(x_0,y_0)\cos \beta$$其中$\cos \alpha ,\cos \beta$是方向$\ell$的方向余弦
11. 在二元函数的情形下，设函数$f(x,y)$在平面区域D内有一阶连续偏导数，则对于每一点$P_0(x_0,y_0)\in D$ 都可以定义出一个向量$$gradf(x_0,y_0)=\nabla f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)\vec{i}+f_y(x_0,y_0)\vec{j}$$ 该向量成为函数$f(x,y)$在$P_0(x_0,y_0)$的梯度，记作$gradf(x_0,y_0)$或$\nabla f(x_0,y_0)$
12. $\nabla =\frac{\partial }{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial }{\partial y}\vec{j}$称为二维的向两位分算子或Nabla算子
13. 方向导数与梯度的关系：$$\frac{\partial f}{\partial \ell }{\mid }_{(x_0,y_0)}=|gradf(x_0,y_0)|\cos \theta$$ $\theta =\left(\widehat{gradf(x_0,y_0),{\vec{e}}_{\ell }}\right)$
    a. 如果$\theta =0$ 即方向${\vec{e}}_{\ell }$ 与梯度$f(x_0,y_0)$方向相同时，函数增加最快，此时函数在这个方向的方向导数能达到最大值，即梯度$gradf(x_0,y_0)$的模
    b. 如果$\theta =\pi$ 即方向${\vec{e}}_{\ell }$ 与梯度$f(x_0,y_0)$方向相反时，函数减少最快，此时函数在这个方向的方向导数能达到最小值，即梯度$gradf(x_0,y_0)$的模的负数
    c. 如果$\theta =\frac{\pi }{2}$ 即方向${\vec{e}}_{\ell }$ 与梯度$f(x_0,y_0)$方向正交时，函数变化率为0，此时函数在这个方向的方向导数等于0
14. 在空间区域G内任一点M，都有一个确定的数量$f(M)$，则称在这个空间区域G内确定了一个数量场，如果与点对应的是向量$F(M)$，则称在这个空间区域内的G确定一个向量场，可以用一个向量值函数$F(M)$确定，而$$F(M)=P(M)\vec{i}+Q(M)\vec{j}+R(M)\vec{k}$$其中$P(M),Q(M),R(M)$是点M的数量函数

--------------------------------------------------------分割线-------------------------------------------
第一次上手latex公式的编辑，感觉也还好，开始还觉得它很难，
有些格式可能有些别扭，请轻喷，谢谢！