nyoj 301递推求值 (矩阵+快速幂)

最新推荐文章于 2018-04-04 16:23:51 发布

w20810

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分类专栏： ACM-数学文章标签：矩阵

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本文介绍了一种利用矩阵快速幂技巧解决特定形式的递推问题的方法，特别是对于那些常规递推难以处理的大规模数据场景。通过将递推公式转化为矩阵乘法并运用快速幂算法，可以有效提升计算效率，避免了直接递推导致的超时问题。适用于需要求解复杂递推序列的场合，特别在计算机科学和数学竞赛中常见。

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题目：http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=301

题意：给你一个递推公式：f(n)=a*f(n-2)+b*f(n-1)+c 并且告诉你a,b,c,f(1),f(2)和n的值，求出f(n)%1000007。其中0<f(1),f(2)<100,-100≤a,b,c≤100,1≤n≤10^9。注意取模后的结果不能为负数。

分析：直接递推求值会超时。可以转化成矩阵相乘

b 1 0

[F(n) F(n-1) c]=[F(n-1) F(n-2) c] * a 0 0

1 0 1
b 1 0

根据矩阵的结合律，可以先求出 a 0 0 的p次幂（矩阵快速幂），再乘上一个[F(2) F(1) c]。

1 0 1

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;

typedef long long LL;
const LL MOD=1000007LL;

struct Matrax 
{
	LL mat[3][3];
}ans,F,U;

LL a,b;

Matrax multi(Matrax a,Matrax b)
{
	Matrax ret;
	int i,j,k;
	for(i=0;i<3;i++)
	{
		for(j=0;j<3;j++)
		{
			ret.mat[i][j]=0;
			for(k=0;k<3;k++)
				ret.mat[i][j]+=a.mat[i][k]*b.mat[k][j];
			if(ret.mat[i][j]>=MOD || ret.mat[i][j]<=-MOD)
				ret.mat[i][j]%=MOD;
			if(ret.mat[i][j]<0)
				ret.mat[i][j]+=MOD;
		}
	}
	return ret;
}

Matrax solve(LL n)
{
	Matrax ret=U,p=F;
	while(n)
	{
		if(n&1)
			ret=multi(ret,p);
		n>>=1;
		p=multi(p,p);
	}
	return ret;
}

void init()
{		
		F.mat[0][0]=b%MOD;
		F.mat[0][1]=1;
		F.mat[0][2]=0;
		
		F.mat[1][0]=a%MOD;
		F.mat[1][1]=0;
		F.mat[1][2]=0;
		
		F.mat[2][0]=1;
		F.mat[2][1]=0;
		F.mat[2][2]=1;
}

int main()
{
	U.mat[0][0]=1;
	U.mat[0][1]=0;
	U.mat[0][2]=0;	

	U.mat[1][0]=0;
	U.mat[1][1]=1;
	U.mat[1][2]=0;
		
	U.mat[2][0]=0;
	U.mat[2][1]=0;
	U.mat[2][2]=1;
	
	LL n;
	int ncase;
	scanf("%d",&ncase);
	while(ncase--)
	{
		scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld",&ans.mat[0][1],&ans.mat[0][0],&a,&b,&ans.mat[0][2],&n);//f1,f2
		
		if(n==1)
		{
			printf("%lld\n",ans.mat[0][1]%MOD);
			continue;
		}
		else if(n==2)
		{
			printf("%lld\n",ans.mat[0][0]%MOD);
			continue;
		}
		
		n-=2;
		init();
		
		Matrax ret=solve(n);
		ans.mat[0][0]=ret.mat[0][0]*ans.mat[0][0]+ret.mat[1][0]*ans.mat[0][1]+ret.mat[2][0]*ans.mat[0][2];
	
		ans.mat[0][0]%=MOD;
		if(ans.mat[0][0]<0)
			ans.mat[0][0]+=MOD;
		
		printf("%lld\n",ans.mat[0][0]);
		
	}
	return 0;
}