数列（sequence）题解

最新推荐文章于 2020-05-16 11:52:00 发布

神啦

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分类专栏： noip模拟赛文章标签： NOIP模拟赛动归

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/w19960702123/article/details/40311749

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该博客讨论了一道关于数列的游戏问题，其中目标是擦除一些数字，使得剩余的数列中在正确位置上的数最多。博主首先尝试了动态规划（动归）解法，但发现存在误解。经过思考，博主理解到问题无后效性，并给出了正确的动态规划方程。博客包含样例输入输出和数据规模说明。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

数列（sequence）

【问题描述】

虽然msh长大了，但她还是很喜欢找点游戏自娱自乐。有一天，她在纸上写了一串数字：1，1，2，5，4。接着她擦掉了一个1，结果发现剩下1，2，4都在自己所在的位置上，即1在第1位，2在第2位，4在第4位。她希望擦掉某些数后，剩下的数列中在自己的位置上的数尽量多。她发现这个游戏很好玩，于是开始乐此不疲地玩起来……不过她不能确定最后能有多少个数在自己的位置上，所以找到你，请你帮忙计算一下！

【输入】

第一行为一个数n ,表示数列的长度。

接下来一行为n个用空格隔开的正整数，第i行表示数Ai 。

【输出】

一行一个整数，表示擦掉某些数后，最后剩下的数列中最多能有多少个数在自己的位置上，即Ai=i最多能有多少。

【样例】

Sequence.in

1 1 2 5 4

Sequence.out

数据规模

对于20%的数据，n≤20；

对于60%的数据，n≤100；

对于100%的数据，n≤1000。

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

初看本题，想到的是动归；

于是有了初步的动归方程：

f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-1])

可是又看了一遍题目发现这题后效性

于是改变方案用LCIS，但是事实证明这样是不行的

看过题解后，发现了一个问题……我所理解的后效性一直以来都是有问题的

后效性，即未来的状态对当前已决策的状态的影响；

可是，我一直以为，后效性是，当前状态对未来状态的影响。

（哎……得亏是现在发现了，要是考试的时候还不知道对后效性理解有问题就惨了……）

既然无后效性，且满足最有子结构，我们就可已得到一个动归方程了：

f[i][j]=max(f[i-1][j]+a,f[i-1][j-1]) (if (i-j==a[i])a=1;else a=0;)

f[i][j]表示前i位，去除j个数

++++++++++++++++++++++++代码入下+++++++++++++++++++++++++++++++++

<span style="font-family:Comic Sans MS;">#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n=5,a[10050],b[10050],z,f[1050][1050];

int main()
{
	freopen("sequence.in","r",stdin);
	freopen("sequence.out","w",stdout);
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cin>>a[i]; z=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	 for(int j=0;j<=n;j++)
	 	f[i][j]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	 for(int j=0;j<=n;j++)
	 {
	 	if(i-j==a[i]&&a[i]!=0)f[i][j]=max(f[i-1][j]+1,f[i-1][j-1]);
	 	else f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-1]);
		z=max(z,f[i][j]);	 	
	 }
	cout<<z;
	return 0;
}</span>