29、线性代数中的矩阵操作与特性

线性代数中的矩阵操作与特性

线性代数作为数学领域的重要分支，在众多科学和工程领域都有着广泛的应用。本文将深入探讨矩阵的旋转、单位矩阵与逆矩阵、矩阵的秩、矩阵分解以及特征值和特征向量等关键概念，通过具体的例子和详细的解释，帮助大家更好地理解这些概念的实际应用。

1. 空间中的点旋转

在二维平面中，一组 $n$ 个点可以用一个 $(n×2)$ 维的矩阵 $S$ 来表示。通过乘以合适的矩阵，能够实现自然的几何变换。其中，旋转矩阵 $R_θ$ 可以将点绕原点旋转角度 $θ$。在二维情况下，$R_θ$ 的定义如下：
[
R_θ =
\begin{bmatrix}
\cos(θ) & -\sin(θ) \
\sin(θ) & \cos(θ)
\end{bmatrix}
]
对于点 $(x, y)$，经过旋转后变为：
[
\begin{bmatrix}
x’ \
y’
\end{bmatrix}
= R_θ
\begin{bmatrix}
x \
y
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
x \cos(θ) - y \sin(θ) \
x \sin(θ) + y \cos(θ)
\end{bmatrix}
]
当 $θ = 180^{\circ} = π$ 弧度时，$\cos(θ) = -1$，$\sin(θ) = 0$，点 $(x, y)$ 变为 $(-x, -y)$，即点被旋转到了相对的象限。对于 $(n×2)$ 维的点矩