28、线性代数：数据科学的语言

线性代数：数据科学的语言

1. 线性代数的重要性

在数据科学项目中，我们通常会把相关信息整理成一个或多个数据矩阵，理想情况下矩阵越大越好。矩阵的行代表具体的项目或实例，列则代表不同的特征或属性。线性代数是研究矩阵的数学分支，它涉及矩阵的性质和对矩阵的操作，是数据科学的基础语言。很多机器学习算法都可以通过线性代数来理解，例如线性回归算法就可以简化为一个矩阵乘积的公式。

1.1 矩阵的广泛应用

矩阵的应用十分广泛，以下是一些常见的例子：
- 数据表示 ：数值数据集通常可以用 n×m 的矩阵表示，n 行代表对象、项目或实例，m 列代表不同的特征或维度。
- 几何点集 ：n×m 的矩阵可以表示空间中的一组点，n 行代表每个几何点，m 列定义维度。某些矩阵操作具有明确的几何解释，这有助于我们将二维几何的概念推广到更高维度的空间。
- 方程组 ：线性方程组可以用矩阵表示。例如，一个包含 n 个线性方程的系统可以表示为 n×m 的矩阵，每行代表一个方程，每列对应一个变量的系数。通常还需要一个单独的 n×1 数组或向量来表示每个方程的 y 值。
- 图和网络 ：图由顶点和边组成，一个有 n 个顶点和 m 条边的图可以用 n×n 的矩阵 M 表示，M[i, j] 表示从顶点 i 到顶点 j 的边的数量或权重。图的组合性质和线性代数之间存在着惊人的联系，例如图中的路径和矩阵乘法之间的关系，以及顶点聚类与矩阵特征值/特征向量的关系。
- 重排操作 ：精心设计的矩