16、统计分布与数据分析：从理论到应用

统计分布与数据分析：从理论到应用

在数据分析领域，统计分布是理解和解释数据的重要工具。不同的统计分布适用于不同类型的数据和问题，下面将详细介绍几种常见的统计分布及其应用。

1. 正态分布

正态分布是一种常见且重要的分布，许多自然现象和人类特征都近似服从正态分布。例如，用智商（IQ）衡量的智力就是正态分布的，其均值为 100，标准差 σ = 15。根据正态分布的性质：
- 约 95% 的人口智商在均值的 2σ 范围内，即 70 到 130 之间。
- 约 99.7% 的人口智商在均值的 3σ 范围内，即 55 到 145 之间。

基于此，我们可以估算世界上最聪明的人的智商。假设全球人口为 70 亿，随机选择一个人成为最聪明的人的概率约为 1.43 × 10⁻¹⁰，这大约相当于一个样本落在均值超过 6.5σ 的位置。因此，按照这种计算方法，世界上最聪明的人的智商大约为 197.5。然而，这种估算的可靠性取决于我们对智商是否真的呈正态分布的假设，因为在极端情况下，这种模型可能会失效。

2. 泊松分布

泊松分布用于衡量稀有事件之间的间隔频率。以人类寿命为例，假设每天有一个小而恒定的概率 1 - p 导致一个人停止呼吸。那么，恰好活 n 天的概率为 Pr(n) = pⁿ⁻¹(1 - p)，预期寿命为：
[
\mu = \sum_{k = 0}^{\infty} k \cdot Pr(k)
]

泊松分布基于均值 μ，其概率质量函数为：
[
Pr(x) = \frac{e^{-\mu} \mu^x}{x!}
]

许多分布在本质上可以