78、有限元方法与三维非定常流模拟的C++实现

有限元方法与三维非定常流模拟的C++实现

在科学计算和工程领域，数值模拟是解决复杂问题的重要手段。本文将介绍两个重要的方面：一是基于C++的变分表述语言及其在有限元和谱元方法中的应用；二是用于三维粘性气体流动模拟的并行程序复合体。

1. 变分表述语言与有限元方法

在数学表达中，变分表述语言需要一些关键概念，其中形式（forms）的概念至关重要。形式是模板类，其参数为输入的空间或空间的乘积以及这些形式的代数表示。我们主要考虑线性和双线性形式分别由向量和矩阵表示的情况。

线性和双线性形式类是代数表示和变分表述之间的桥梁，变分表述存储在一个复杂的树状数据结构Expr中。它具有以下功能：
- 根据近似空间和数学表达式填充矩阵的非零元素。
- 允许按组件/按空间进行块方式的构造。
- 检查表达式和表示的数值类型是否一致。
- 当调用operator=( Expr const& )时，计算表达式并填充表示的条目。

为了表达偏微分方程（PDE）问题，库或应用程序通常依赖于特定领域语言（DSL），如Python编写的语言，或自制的语言，也可使用高级接口。这些接口或语言具有教学、解决多物理和多尺度复杂问题以及快速原型化新方法等优点。

在C++中嵌入了一种特定领域语言（DSEL），用于数值积分和投影。与生成特定外部语言相比，DSEL具有一些优势，如可忽略编译器构造的复杂性、可同时使用其他库以及继承所编写语言的能力。该语言共享积分、投影和自动微分的表达式树构造。

其实现依赖于表达式模板等标准技术和表达式树的两阶段求值。在某些情况下，该语言支持对N个函数空间的乘积进行优化。例如，在局部/全局组装过