65、新型核外多波前求解器的设计

新型核外多波前求解器的设计

多波前方法基础

多波前方法在处理矩阵分解时，若采用深度优先搜索进行排序，每个阶段所需的生成元素是到目前为止未使用的元素中最近生成的。这使得在分解过程中使用栈进行临时存储变得很方便，虽然这会改变主元序列，但除了重新排序组装的舍入误差外，算术运算相同。

对于非元素问题，多波前方法可将矩阵(A)的第(i)行视为一个(1×1)元素（对角元素(a_{ii})）的压缩表示，对于每个(a_{ij} \neq 0)，视为一个(2×2)元素：
[A(ij) =
\begin{bmatrix}
0 & a_{ij}\
a_{ij} & 0
\end{bmatrix}
]
当选择(i)作为主元时，必须组装(1×1)元素以及(2×2)元素(A(ij))中(j)尚未被选为主元的子集。具有相同模式的行可以通过将相应的变量分组为超变量来一起处理。

多波前数据结构

多波前方法需要为原始矩阵(A)、波前矩阵、生成元素的栈和矩阵因子设计数据结构。核外方法在计算矩阵因子的列时将其写入磁盘，还可以将栈或栈和波前矩阵都存储在磁盘上。

如果栈和波前矩阵存储在主内存中，仅将因子写入磁盘，那么对于核外方法来说，这种方式实现了最小的输入/输出操作：在回代时将因子数据写入磁盘一次并读取一次，或者在求解更多右侧向量时进行两次读写（一次用于前向替换，一次用于回代）。不过，对于非常大的问题，可能还需要将栈或栈和波前矩阵存储在磁盘上。通过将原始矩阵数据存储在磁盘上，可以进一步减少主内存需求。HSL MA77允许将原始矩阵数据、因子和栈存储在磁盘上，目前波前矩阵存储在主内存中。