13、动态规划：高效递归的艺术

动态规划：高效递归的艺术

1. 动态规划基础

动态规划由理查德·贝尔曼在1950年提出，用于描述多阶段决策过程的研究。如今，它作为一种算法设计技术，涉及两个阶段：首先将问题用递归形式表述，然后找到高效的计算解决方案的方法。与分治算法不同，递归解决方案产生的子问题可能会重叠，直接执行递归算法可能会多次求解相同的子问题，导致指数级的时间复杂度。

为了理解子问题重叠的问题，可以查看与递归函数相关的依赖图。分治算法的依赖图是没有共享顶点的树，而动态规划算法的依赖图是有向无环图，可能有许多共享顶点。

解决优化问题的第一步是获得递归解决方案，关键是利用合适的单调性条件，使问题的最优解可以用最优子解表示。获得递归描述后，有两种方法确保子解不被多次计算：
- 记忆化（Memoisation） ：保留递归的自顶向下结构，将子解存储在表中，每次递归调用时先检查该调用是否已执行过，若是则从表中检索解，否则递归计算并存储结果。
- 制表法（Tabulation） ：采用自底向上的方案，先计算最简单的部分结果，然后按适当顺序计算更大子问题的解，直到得到完整解。

方法	优点	缺点
记忆化	原理上易于实现，确保只计算完整计算所需的值	需要对递归函数的参数进行系统编码，参数需可进行相等性测试