11、序列与子序列问题解析

序列与子序列问题解析

在计算领域，涉及序列和子序列的问题十分常见，比如在基因组学、文本处理、数据挖掘和数据压缩等方面。下面我们将深入探讨三个相关问题，包括最长上升子序列、最长公共子序列以及最大和短片段问题。

1. 最长上升子序列问题

最长上升子序列问题是指，给定一个有序类型的元素序列，找出其中元素严格递增的最长子序列。我们使用函数 lus 来计算这个最长上升子序列：

lus::Ord a ⇒[a] →[a]
lus ←MaxWith length·filter up·subseqs

其中， up 函数用于判断一个序列是否为上升序列：

up::Ord a ⇒[a] →Bool
up xs = and (zipWith (<) xs (tail xs))

subseqs 函数用于生成序列的所有子序列，有两种基于 foldr 的定义方式：

-- 第一种方式
subseqs::[a] →[[a]]
subseqs = foldr step [[ ]]
where step x xss = xss++map (x:) xss

-- 第二种方式
subseqs::[a] →[[a]]
subseqs = foldr (concatMap·extend) [[ ]]