9、图上的贪心算法：从最小生成树到最短路径

图上的贪心算法：从最小生成树到最短路径

在图论算法中，贪心算法在解决一些经典问题时表现出色，比如计算最小生成树和最短路径。本文将详细介绍这些算法的原理、实现以及应用。

1. 图和生成树的基本概念

在深入算法之前，我们需要了解一些图和生成树的基本概念。图主要分为有向图（digraph）和无向图（graph）。有向图由顶点集 ( V ) 和边集 ( E ) 组成，边是有序对 ( (u, v) )，表示从顶点 ( u ) 到顶点 ( v ) 的有向连接，允许存在自环 ( (u, u) )。无向图同样由顶点集和边集构成，但边是无序对 ( {u, v} )，不存在自环。

对于有 ( n ) 个顶点的有向图，最多有 ( n^2 ) 条边（包含自环），若无自环则最多有 ( n(n - 1) ) 条边；而无向图最多有 ( \frac{n(n - 1)}{2} ) 条边。

为了后续算法的需要，我们引入带标签的图和有向图，即每条边都有一个权重。相关的类型声明如下：

type Graph = ([Vertex],[Edge])
type Edge = (Vertex,Vertex,Weight)
type Vertex = Int
type Weight = Int

同时，我们定义了一些辅助函数：

nodes (vs,es) = vs
edges (vs,es) = es
source (u,v,w) = u
target (u,v,w) = v
weight (u,v,w) =