4、分治法与二分搜索：原理、应用与优化

分治法与二分搜索：原理、应用与优化

1. 分治法概述

分治法（Divide and Conquer）是一种重要的算法设计技术。其核心思想是：对于一个待解决的问题，如果问题规模足够小且易于直接求解，就直接解决；否则，将问题分解为一个或多个子问题，分别求解这些子问题，最后将子问题的解合并得到原问题的解。

分治法具有以下特点：
- 子问题规模 ：每个子问题的规模通常是原问题输入规模的某个分数，如 n/2 或 n/4。在很多情况下，子问题的规模相等或尽可能接近相等。
- 子问题独立性 ：子问题之间相互独立，避免重复计算。如果子问题存在重叠，可采用动态规划策略。
- 并行性 ：由于子问题相互独立，分治法算法适合并行计算。

2. 二分搜索

二分搜索是分治法的一个简单示例。它将搜索问题分解为两个规模约为原问题一半的子问题，且其中一个子问题很容易解决。

2.1 一维搜索问题

给定一个严格递增的函数 f （从自然数到自然数）和一个目标数 t，要找到满足 t = f(x) 的 x（如果存在）。由于 f 严格递增，最多只有一个解，且搜索范围可限制在 0 ⩽ x ⩽ t。

• 线性搜索 ：通过逐步递增的方式搜索值，代码如下：

search::(Nat →Nat) →Nat →[Nat]
search f t = [x | x ←[0