2、算法运行时间分析：工具与实例

算法运行时间分析：工具与实例

1. 引言

算法成功的秘诀如同喜剧成功的秘诀一样，在于时机的把握。在分析函数式算法的运行时间时，我们需要用到三种工具：用于描述函数增长的渐近符号、用于估计运行时间的递归关系，以及摊还运行时间的概念。虽然算法成功的标准应同时考虑时间和空间，但分析函数式算法的空间需求较为复杂，因此我们主要关注时间分析。

2. 渐近符号

渐近符号用于比较函数的增长阶，而无需考虑其中涉及的常数。主要有三种渐近符号：Θ、O 和 Ω（分别读作“大 theta”、“大 omicron”和“大 omega”）。
- Θ 符号 ：设 f 和 g 是两个以自然数为参数并返回非负结果的函数。若存在正常数 C、D 和自然数 n0，使得对于所有 n > n0，都有 Cg(n) ≤ f(n) ≤ Dg(n)，则称 f 的阶为 g，记作 f = Θ(g)。例如，n(n + 1)/2 = Θ(n²)，n³ + n² + n log n = Θ(n³)，n(1 + 1/2 + 1/3 + ···) = Θ(n log n)。特别地，Θ(1) 表示一个值介于两个正常数之间的匿名函数，如取列表的头部是一个常数时间操作，可表示为 head 操作需要 Θ(1) 步。
- O 符号 ：若存在正常数 C 和自然数 n0，使得对于所有 n > n0，都有 f(n) ≤ Cg(n)，则称 f 的阶至多为 g，记作 f = O(g)。例如，在假设测试为常数时间的情况下，takeWhile 在长度为 n 的列表上的运行时间是 O(n) 步。在最坏情况下，运行时间是 Θ(n) 步；在最好情况下，当第一个元素未通