23、图选择机制的最优公平对应研究

图选择机制的最优公平对应研究

1. 预备知识

在图论的研究中，我们先定义一些基本概念。对于自然数 (n)，令 ([n] = {1, 2, \ldots, n})。(G_n) 表示具有 (n) 个顶点且无环的有向图集合，其定义为 (G_n = {(V, E) : V = [n], E \subseteq (V \times V) \setminus \bigcup_{v \in V} {(v, v)}})，而 (G = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} G_n)。

对于图 (G = (V, E) \in G) 和顶点 (v \in V)，定义了一些重要的概念：
- 出邻域 (N^+(v, G) = {u \in V : (v, u) \in E})。
- 入邻域 (N^-(v, G) = {u \in V : (u, v) \in E})。
- 出度 (\delta^+(v, G) = |N^+(v, G)|)。
- 入度 (\delta^-(v, G) = |N^-(v, G)|)。
- 最大入度 (\Delta(G) = \max_{v \in V} \delta^-(v, G))。

当图 (G) 在上下文中明确时，我们会省略 (G) 的标注，写成 (N^+(v))、(N^-(v))、(\delta^+(v))、(\delta^-(v)) 和 (\Delta)。同时，(top(G) = \max{v \in V : \delta^-(v) = \Delta(G)}) 表示具有最大入度且索引最大的顶点。

对于 (n \in \mathbb{N}) 和 (d \in [n - 1])，(G_n