6、非线性与微扰及分形混沌的研究

非线性与微扰及分形混沌的研究

1 超越 KAM 理论

在研究具有 1.5 个自由度的系统时，也就是在单自由度系统中加入随时间变化的微扰，相关结果可拓展到双自由度系统。KAM 理论在小扰动 $\epsilon \to 0$ 且满足非简并条件 $\left|\frac{\partial^2 H_0(I)}{\partial I_k \partial I_{\ell}}\right| \neq 0$ 时，能保证不变环面（曲线）的存在。

考虑的系统由哈密顿量 $H = H_0(I) + \epsilon V(I, \vartheta, t)$ 描述，其中 $I = (I_1, \ldots, I_N)$ 是作用量向量，$\vartheta = (\vartheta_1, \ldots, \vartheta_N)$ 是相位向量，$\epsilon$ 是微扰的无量纲参数。当 $N = 1$ 时，非简并条件变为 $\frac{d^2 H_0(I)}{dI^2} = \frac{d\omega(I)}{dI} \neq 0$，这里引入了未受扰动运动的非线性频率 $\omega(I) = \frac{dH_0(I)}{dI}$，这表明未受扰动的系统应为非线性系统，KAM 理论的结果才适用。

从物理角度看，条件 $\epsilon < \epsilon_0$ 意味着 $\epsilon$ 应足够小，但非简并条件未给出无量纲非线性参数 $\alpha = \left|\frac{d\omega}{dI}\right| \frac{I}{\omega} (\omega \neq 0)$ 的临界值 $\alpha_0$。更准确地说，KAM 理论的有效性条件应写为 $\epsilon < C\a