21、分数阶差分方程与肺部热传递的全局热建模研究

分数阶差分方程与肺部热传递的全局热建模研究

分数阶差分方程稳定性分析

基础概念引入

在分数阶差分方程的研究中，首先需要了解一些基础概念。设 (h > 0)，((hN)_0 = {0, h, 2h, …})，(x : (hN)_0 \to R) 为任意函数。定义前向 (h) - 差分算子为：
((\Delta_hx)(t) := \frac{x(t + h) - x(t)}{h})，(t \in (hN)_0)

同时引入一族由 (q > 0) 参数化的二项式函数：
当 (q > 0) 时，(a^{(-q)}_j = \binom{j + q - 1}{j} = (-1)^j\binom{-q}{j})；当 (q < 0) 时，(a^{(-q)}_j = 0)，且 (a^{(-q)}_0 = 1)。

分数 (h) - 和的定义为：对于 (q > 0)，((\Delta^{-q} h x)(t) := h^q(a^{(-q)} * \bar{x})(j))，其中 (t = jh)，(\bar{x}(s) := x(sh))，(s \in N)，“(*)” 表示卷积，即 ((a^{(-q)} * \bar{x})(j) := \sum {s = 0}^{j}\binom{j - s + q - 1}{j - s}\bar{x}(s))。

Caputo 型 (h) - 差分算子定义为：对于 (q \in (0, 1])，((c\Delta^q x)(t) = (\Delta^{-(1 - q)}_h(\Delta_h x))(t))，(t \in (hN)_0)。

二