13、时间分数阶混合扩散与波方程的二阶时间差分格式及永磁同步电机的分数阶PID控制

时间分数阶混合扩散与波方程的二阶时间差分格式及永磁同步电机的分数阶PID控制

在科学与工程领域，时间分数阶混合扩散与波方程以及永磁同步电机的控制问题是研究的热点。本文将介绍一种用于求解具有初始奇异性的时间分数阶混合扩散与波方程的时间二阶差分格式，同时探讨永磁同步电机驱动中分数阶PID控制器的优化设计。

时间分数阶混合扩散与波方程的二阶时间差分格式

在求解时间分数阶混合扩散与波方程时，由于解的正则性通常比经典偏微分方程弱，因此需要特殊的数值方法。以往的研究中，出现了各种L1格式，多数研究证明其收敛阶为2 - α（0 < α < 1），近期也有一些时间二阶格式被提出，但针对具有初始弱正则性问题的数值方法尚未出现。

问题转化与公式推导

考虑时间分数阶混合扩散与波问题，通过引入Riemann - Liouville分数阶积分，将原问题转化为等价问题：
[
u_t(x, t) + { 0}D^{\beta - \alpha}_t u(x, t) = \phi(x) + {_0}I^{\alpha}_t u {xx}(x, t) + F(x, t)
]
其中，(F(x, t) = \int_0^t \omega_{\alpha}(t - s)f(x, s)ds)。

为了近似分数阶算子，采用时间分级网格：
[
t_n = (n\tau)^r, \quad 0 \leq n \leq N, r \geq 1, \quad \tau = T^{1/r}/N
]
该时间分级网格具有以下性质：
[
t_n \leq 2r t_