10、分形表面吸附与分数阶忆阻元件的研究

分形表面吸附与分数阶忆阻元件的研究

1 分形表面吸附研究

1.1 吸附密度与幂律渐近行为

在分形表面的吸附研究中，主要关注了 Vicsek 分形、Sierpinski 三角形和 Sierpinski 地毯三种分形结构上吸附圆盘的密度。通过模拟得到了不同分形结构上吸附圆盘密度随试验次数的变化情况，如图 2 所示。

同时，图 3 展示了 $\theta_{\infty}-\theta$ 作为 $t^{-1/d}$ 的函数关系（其中 $d$ 是分形的维度），支持了吸附圆盘密度具有幂律渐近行为，其形式为：
$\theta_{\infty}-\theta(t) \sim Kt^{-1/d}$
不同分形结构的 Hausdorff 维度分别为：
- Vicsek 分形：$d_V = \frac{\log(5)}{\log(3)} \approx 1.4649$
- Sierpinski 三角形：$d_{ST} = \frac{\log(3)}{\log(2)} \approx 1.585$
- Sierpinski 地毯：$d_{SC} = \frac{\log(8)}{\log(3)} \approx 1.8928$

1.2 幂律非线性动态建模

由于篇幅限制，建模方法仅在 Vicsek 分形上进行，其他分形会产生相似行为，可采用相同方法捕捉。考虑的模型类别为无漂移的非线性控制仿射模型，第一个模型定义为：
$\dot{x}(t) = A(x(t) + C)^{1 - \frac{1}{\alpha}} \cdot u(t)$
其中，$u(t)$ 可视为输入，$x(t)$ 是模型