4、分数阶导数初值问题与复阶导数特性研究

分数阶导数初值问题与复阶导数特性研究

1. 不同定义下的分数阶模型分析

在分数阶模型的定义中，之前的研究表明Caputo定义不宜再用于定义如特定形式（4）的分数阶模型，那么其他定义情况如何呢？
- Riemann - Liouville定义
- 定义公式 ：对于函数(y(t))，其(\nu)阶（(0 < \nu < 1)）的Riemann - Liouville导数定义为(RLD^{\nu} {t_0}y(t)=\frac{1}{\Gamma(1 - \nu)}\frac{d}{dt}\int {t_0}^{t}\frac{y(\tau)}{(t - \tau)^{\nu}}d\tau)。
- 拉普拉斯变换与初始条件 ：对上述关系进行拉普拉斯变换，可揭示初始条件与该定义的关联。经过变换可得(L[RLD^{\nu} {t_0}y(t)] = s\frac{1}{s^{1 - \nu}}Y(s)-\left[I^{1 - \nu} {t_0}y(t)\right] {t = t_0})。由此，对于特定关系（4）(\frac{d^{\nu}}{dt^{\nu}}y(t)= - ay(t)+u(t))，其初始化定义为(I^{1 - \nu} {t_0}{y(t)}| {t = t_0}=y_0)，且该关系的初始化问题等价于积分方程(y(t)=\frac{y_0}{\Gamma(\nu)(t - t_0)^{\nu - 1}}+I^{\nu} {t_0}{-ay(t)+u(t)})。