17、广义四元数群的拉马努金凯莱图及相关问题研究

广义四元数群的拉马努金凯莱图及相关问题研究

1. 拉马努金凯莱图的相关定义与初步结论

我们先引入一些定义，设 (L ′ = {l(S) | S ∈S ′}) 以及 (S ′_l = S_l ∩S ′)，新的目标是确定界限 (\tilde{l}’)，其定义为 (\tilde{l}’ = \max{l ∈L ′ | X(S)) 对于所有 (S ∈S ′_k(1 ≤k ≤l)) 都是拉马努金图 (})。显然有 (\tilde{l}’ ≥l_0)。

当 (m) 为偶数时，有定理表明 (\tilde{l}’ = l_0)。证明过程中，根据引理可知能找到 (S ∈S ′_{l_0 + 1}) 使得 (l_2(S) \neq 0) 且满足 (|\lambda_3| = l_0 + 1 > RB(S))（或 (|\lambda_4| = l_0 + 1 > RB(S))），这就直接说明 (X(S)) 不是拉马努金图。由此，后续我们假定 (m) 为奇数，此时对于任意 (l ∈L ′) 和 (S ∈S ′_l)，有 (|\lambda_i| < l)（(2 ≤i ≤4)）。

2. (\tilde{l}’) 的上界

为了研究 (\tilde{l}’) 的上界，我们将 (S ′) 进行分解：
(S ′ = \bigcup_{l∈L ′}S ′ l = \bigcup {l∈L ′}\bigcup_{(l_1,l_2)∈L ′ l}S ′ {l_1,l_2})
其中 (L ′ l = {(l_1,l_2) ∈Z^2 | 0 < l_1 ≤2m, l_1 ≡l (\text{mod }