10、数值计算中的插值与微分方法及应用

数值计算中的插值与微分方法及应用

1. 二项式展开与插值

通过二项式展开，我们可以得到相关公式。利用这些公式，若采用到 y2 项，可进行线性插值；采用到 2y2 项，则可进行抛物线插值，以此类推。已知表 1 有直至五阶的前向差分，但最后一列包含零值，所以相关公式实际上可进行到四阶前向差分插值。

以函数 (y = 1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + 5x^4) 为例，计算 (y(x = 1.24)) 的值。使用线性、抛物线、三次和四阶插值方法得到的数值结果分别为 7.4106、7.3190、7.3279 和 7.3274，而该函数在 (x = 1.24) 处的精确值为 7.3274。关于这四种插值方法与精确值之间差异的解释，在相关问题集的作业练习中给出。

2. 后向差分算子

观察表 1 中第三至七列的第一个数字，它们是 (y_1) 的五个前向差分；而 (y_2) 只有四个前向差分（第三至六列的第二个数字）。随着 (y) 的序号增加，可用的前向差分越来越少，到 (y_5) 时只有 y5。也就是说，要对 (x) 值在 (x_5 = 1.5) 和 (x_6 = 1.6) 之间的 (y(x)) 进行插值，相关公式最多只能用到 y5 项。

为解决这个问题并充分利用给定的 6 组 ((x,y)) 数据，引入后向差分算子 ，其定义为：
(\nabla y_i = y_i - y_{i - 1})

结合相关公式，我们可以发现表 1 中第三至七列的最后一个数字分别是 (y_6) 的一阶至五阶后向差分。若要推导基于 的插值公式，就有 (y_6) 的直至五阶后向差分可用。例如，要插值 (y(x = 1.56)) 的值，由