7、基于轮廓分割的最小描述长度方法解读

基于轮廓分割的最小描述长度方法解读

在图像分割领域，基于轮廓的分割方法是一种重要的技术手段。本文将深入探讨基于轮廓分割的最小描述长度（MDL）相关内容，包括轮廓的B样条参数化、MDL在B样条参数化中的应用以及MDL轮廓分割等方面。

1. 轮廓的B样条参数化

1.1 轮廓的离散与连续表示

考虑受蛇模型启发的封闭轮廓定义：$\Gamma(t) = (x(t), y(t))$，其中$t \in [0, 2\pi]$。在实际应用中，这个弧长范围会被离散化，我们可以将$\Gamma$理解为一个有序的$N$个二维点序列，即$\Gamma = {(x(t), y(t))^T : t = \frac{i2\pi}{N - 1}, i = 0, \ldots, N - 1}$。

从轮廓复杂度分析的角度来看，给定这$N$个点（样本），可以通过傅里叶分析或样条方法从这些样本中推断出其连续版本$\Gamma(t)$。这些方法在选择少量参数（项或控制点）时，会隐式地引入平滑约束，从而实现对轮廓的参数化。

1.2 B样条的定义与性质

这里我们重点讨论B样条参数化方法。设$B_M = {B_M^k(t) : k = 0, \ldots, K - M - 1}$是一组$N_B$个B样条，其中$N_B = K - M$，${t_0 \leq t_1 \leq \ldots \leq t_K}$是一组节点。

每个$B_M^k(t)$通常是一个低阶多项式（次数为$M - 1$），其定义如下：
[
B_M^k(t) = B_{M - 1}^k(t)\frac{t - t_k}{t_{k + M - 1} - t_