18、常微分方程与特征值特征向量的数值解法

常微分方程与特征值特征向量的数值解法

常微分方程的数值解法

常微分方程的数值解法主要分为初值问题和边值问题两类。

初值问题

初值问题主要针对一阶微分方程，不过高阶方程通常也能转化为一阶方程组来求解。

• 一阶方程 ：以 $f (x,y) = \sin x + y$ 为例，使用四阶龙格 - 库塔法求解方程组，相关参数计算如下：

  • $k_1 = hf (x_n,w_n)$
  • $k_2 = hf (x_n + \frac{1}{2}h,w_n + \frac{1}{2}k_1)$
  • $k_3 = hf (x_n + \frac{1}{2}h,w_n + \frac{1}{2}k_2)$
  • $k_4 = hf (x_n + h,w_n + k_3)$
    其中 $f (x,w) = -w + \cos x$，最终得到的结果如下表所示：
    | x | w | y |
    | — | — | — |
    | 0 | 0 | 0 |
    | 0.1 | 0.00998 | 0.09950 |
    | 0.2 | 0.03973 | 0.19601 |
    | 0.3 | 0.08866 | 0.28660 |
    | 0.4 | 0.15577 | 0.36842 |
    | 0.5 | 0.23971 | 0.43879 |

• 高阶方程 ：多数高阶