14、线性规划在商业与经济问题中的应用

线性规划在商业与经济问题中的应用

线性规划是一种强大的工具，可用于解决商业和经济领域中出现的各种问题。以下将详细介绍整数规划、决策问题、旅行商问题和机器调度问题等方面的内容，并结合具体案例和代码进行说明。

1. 整数规划与分支定界法

整数规划问题的解不一定是唯一的。对于整数规划问题，可采用分支定界法求解。具体步骤如下：
1. 用单纯形法求解对应的连续问题。
2. 若得到全整数解，则问题解决；若最优解中一个或多个变量不是整数值，则选择一个这样的变量进行分支。
3. 形成两个新问题，将可行区域划分为两个子区域，继续求解，直到某一分支无法继续或进一步求解不会改善现有解。

案例：求解简化的整数服装问题
问题描述：

maximise
z = 500x1 + 400x2
subject to
8x1 + 5x2 ≤ 42
3x1 + 16x2 ≤ 60
x1, x2 ≥ 0,
x1, x2 integer.

求解过程：
1. 求解关联的连续问题（问题(1)），得到 (x_1 = 3.3)，(x_2 = 3.1)。
2. 对 (x_1) 进行分支，形成两个子问题：
- 问题(1.1)：

maximise
z = 500x1 + 400x2
subject to
8x1 + 5x2 ≤ 42
3x1 + 16x2 ≤ 60
x1 ≤ 3
x1, x2 ≥ 0,
x1, x2 in