21、逻辑系统 NLλ 与 NLCL 的形式性质及相关特性

逻辑系统 NLλ 与 NLCL 的形式性质及相关特性

1. NLλ 与 NLCL 的等价性

在逻辑推理中，NLλ 和 NLCL 存在着紧密的联系。对于 NLλ 推导中的每个推理，都能在 NLCL 中构建出等价的推理序列。例如：
- 推理规则 \R：
- (A · ⊢B) 通过 \R 可得 ( ⊢A\backslash B)，同时 (\langle A · \rangle⊢B) 通过 \R 可得 (\langle \rangle⊢A\backslash B)。其他 R 规则也有类似表现。
- 推理规则 \L：
- ( ⊢A) 且 ([B] ⊢C) 通过 \L 可得 ([ · A\backslash B] ⊢C)，同时 (\langle \rangle⊢A) 且 (\langle [B]\rangle⊢C) 通过 \L 可得 (\langle [ · A\backslash B]\rangle⊢C)。

若 NLλ 推导的最终相继式为 ( ⊢A)，那么 NLCL 推导的最终相继式为 (\langle \rangle⊢A)。由于 () 不含 λ，所以 ( = \langle \rangle)。而且，这两个证明仅在结构规则的应用上有所不同，结构公设不影响 Curry - Howard 语义标注，因此两个证明的语义值是等价的。

反之，将 NLCL 嵌入 NLλ 时，NLCL 推导的结论必须不含 I、B 和 C 结构。同时，还需关注非公式结构的抽象问题。不过，非公式的抽象总是可以消除的。

有如下定理：
- 高效抽象定理（Efficient Abstraction for NLCL） ：对