力扣 不同路径

动态规划典型例题。

题目

 首先，把每一行每一列的元素初始化为1，因为从起点开始直接走就是一条路径。然后记准平面常用表示的坐标上下左右分别对应y-1、y+1、x-1、x+1，然后要到右下角，那去到目标点就是从左边或上方来，显然就是找到旁边的路径总和就是到该点的路径总数了，循环遍历到要走的步数。

时间复杂度O(mn)，空间复杂度O(mn)。

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
         int[][] f = new int[m][n];
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            f[i][0] = 1;
        }
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            f[0][j] = 1;
        }
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - 1];
            }
        }
        return f[m - 1][n - 1];
    }
}

    [1, 1, 1],
    [1, 2, 3],
    [1, 3, 6]

在数组的内循环中，每一个点由同一行不同列与上一行同列的得到，说明在遍历行时有一个变量是不用作改变的，这个二维数组可以作一个优化，滚动数组化为一维数组。

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
       int[] f = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            f[i] = 1;
        }
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                f[j] += f[j - 1];
            }
        }
        return f[n - 1];
    }
}

可以看到相似的代码部分为 f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - 1];改到了f[j] += f[j - 1];即f[j] = f[j] + f[j - 1]，而等式的f[j] + f[j - 1]由于f[j]在这里还没做更新，因此所对应的就是上一行的f[j]，而f[j - 1]是在内循环的前一步做了这一行的更新，所以是对应的。滚动数组优化后时间复杂度O(mn)，空间复杂度O(n)，节省了空间开销。