51nod 1226 构造质数

题意

求 $[L, R]$ 中有多少素数能写成 $\frac{x^4-y^4}{x^3+y^3}$ 的形式。

约定：$L,R\leq 10^{13}$

分析

考虑把 $x$ 和 $y$ 的最大公约数提出来，设为 $d$，把两数写为 $dx$ 和 $dy$ ($(x,y)=1$)，设有素数 $p$ 满足条件，尝试化简原式，：

$$p(x^3+y^3)=d(x^4-y^4)$$

因式分解，可以得到：

$$p(x^2-xy+y^2)=d(x-y)(x^2+y^2)$$

显然，因子 $p$ 应该在 $(x^2+y^2)$ 里。另一方面，因为 $(x,y)=1$，所以有 $(x-y,x^2-xy+y^2)=1$，所以只能有 $x-y=1$。那么我们继续化简，得到：

$$p(x^2+x+1)=d(2x^2+2x+1)$$

因为 $(x^2+x+1,2x^2+2x+1)=1$，所以我们可以得到：

$$\begin{cases} p=2x^2+2x+1\\ d=x^2+x+1\\ \end{cases}$$

注意到这里的 $d$ 取值是自由的，所以原问题相当于统计有多少形如 $2x^2+2x+1$ 的质数。

算法一

考虑到可能成为解的答案只有 $O(\sqrt R)$ 个，考虑把它们取出来逐个check。。。可过吗？

答案是。。。过不了，不过可以稍稍优化一下，暴力算算知道可能成为答案的解只有 20W 个多一点，那么每隔 500 个取出来一个数，打一张表，询问的时候查表 + 暴力就能过了。

算法二

打表当然不是正解辣！考虑高端解法。

首先如果你稍稍用心的话，就会发现形如 $2x^2+2x+1$（以下记为 $f(x)$）一定不会被 $2$ 整除，如果更细心一点的话，又能发现 $f(x)$ 不会被 $3$、$7$ 整除…事实上，这样的素数还是挺多的。

考虑怎样的素数 $p$ 可以成为 $f(x)$ 的约数，这实际上是一个同余方程的样子：

$$2x^2+2x+1\equiv 0\mod p$$

那么解这个方程，得到：

$$\frac{-1\pm \sqrt{-1}}{2} \mod p$$

这样可以发现，能‘筛掉’这些 $f(x)$ 或成为答案的素数 $p$ 的特点：$p-1$ 是 模 $p$ 的二次剩余。并且，只有当 $x\mod p$ 取到某两个特定的值的时候，才会有 $p|f(x)$。

因为不难验证，如果 $x=x_0$ 是 $f(x)\equiv 0\mod p$ 的解，那么 $x=p-x_0-1$ 也是，这说明，最小的两个 $f(x)\equiv 0\mod p$ 的解分别是 $>\frac p 2$ 和 的。

下面考虑这样一种算法：

把所有 $f(x)\leq R$ 的 $f(x)$ 取出来，列成一张表 $\{a_i\}$，我们从前向后，用小的 $a_i$ 去除大的 $a_j$。

具体地，我们从 $i=1$ 开始枚举每个 $a_i$，向后找到它可以整除的所有 $a_j$，把 $a_j$ 里面的所有 $a_i$ 因子除干净。

我们断言，按这样的算法处理，枚举到每个 $a_i$ 的时候，$a_i$ 一定是一个素数或 $1$。

证明：

先奠基，首先 $a_1$ 是一个素数。

若 $a_i$ 是一个合数，且 $a_i$ 中含有两个不同的质因子时，等价于：

存在不同的两质数 $p$, $q$ 使得 $i$ 是

$$f(x)\equiv 0\mod p$$

和

$$f(x)\equiv 0\mod q$$

的最小正整数解。（如果不是的话，$a_i$ 会被之前的 $a_j$ 筛掉）

那么我们有 $i<\frac p 2$ 且 $i<\frac q 2$，所以：

$$2i^2+2i+1< pq$$

矛盾。

因此，每个 $i$ 只可能是最多一个 $p$ 的同余方程 $f(x)\equiv 0\mod p$ 的最小解。

类似上文的思路，还可以证明如果这样的 $p$ 存在，那么 $a_i$ 里 $p$ 的次数最大是 $1$。

如果 $a_i$ 是素数，我们又会用它去筛之后的 $a_j$，根据循环不变式的那一套理论，这个命题应该是成立的。

答案怎么统计呢？如果枚举到某个 $a_i$ 发现 $a_i=f(i)$ 且 $a_i\geq L$ 时，就给答案加 $1$ 嘛。

我们设有 $m$ 个 $\leq R$ 的 $f(x)$，按照上文描述，算法的复杂度是 $O(m^2)$ 的，可能还会 TLE，有优化的余地吗？

注意到 $f(x)\equiv 0\mod p$ 当且仅当 $f(x\%p)\equiv 0\mod p$，而 的两个解分别是 $i$ 和 $p-i-1$，所以我们根据 $a_i$ 和 $i$ 可以知道它应该去筛哪些数，加上这个优化就可以过了。

复杂度？总比 $O(m\log m)$ 快，更精确的分析就不会了。