组合数学 (习题): HDU 2152

题目

转眼到了收获的季节，由于有TT的专业指导，Lele获得了大丰收。特别是水果，Lele一共种了N种水果，有苹果，梨子，香蕉，西瓜……不但味道好吃，样子更是好看。

于是，很多人们慕名而来，找Lele买水果。

甚至连大名鼎鼎的HDU ACM总教头 lcy 也来了。lcy抛出一打百元大钞，“我要买由M个水果组成的水果拼盘，不过我有个小小的要求，对于每种水果，个数上我有限制，既不能少于某个特定值，也不能大于某个特定值。而且我不要两份一样的拼盘。你随意搭配，你能组出多少种不同的方案，我就买多少份！”

现在就请你帮帮Lele，帮他算一算到底能够卖出多少份水果拼盘给lcy了。

注意，水果是以个为基本单位，不能够再分。对于两种方案，如果各种水果的数目都相同，则认为这两种方案是相同的。

最终Lele拿了这笔钱，又可以继续他的学业了～

输入输出

输入

本题目包含多组测试，请处理到文件结束(EOF)。
每组测试第一行包括两个正整数N和M(含义见题目描述，0<N,M<=100)
接下来有N行水果的信息，每行两个整数A,B(0<=A<=B<=100)，表示至少要买该水果A个，至多只能买该水果B个。

输出

对于每组测试，在一行里输出总共能够卖的方案数。
题目数据保证这个答案小于10^9

思路

母函数的应用
对于每种水果 $frui{t}_i$ 的上下界设为 $a_i,b_i$ 并设 $c_i=b_i-a_i+1$
则母函数可以写为
${\prod }_{i=1}^n(x^{a_i}+x^{a_i+1}+...+a^{b_i})$
化简 (等比数列求和) 为
${\prod }_{i=1}^n(x^{a_i}\frac{1-x^{c_i}}{1-x})$
进一步化简为
$x^{{\sum }_{i=1}^n{a}^i}\times {\prod }_{i=1}^n(1-x^{c_i})\times {\sum }_{i=1}^n(C_{n-1+i}^i{x}^i)$
问题要求上式中 $x^m$ 的系数
上式可以分为三部分, 左边部分直接累加得到, 即
设 $total={\sum }_{i=1}^n{a}^i$
那么原问题等价于求
$f(x)={\prod }_{i=1}^n(1-x^{c_i})\times {\sum }_{i=1}^n(C_{n-1+i}^i{x}^i)$ 中
$x^{m-total}$的系数
对于累乘项 ${\prod }_{i=1}^n(1-x^{c_i})$, 直接暴力展开 (因为 $m-total\le 100$, 所以 最多循环 $m\times 100$ 次, 可以接受)
对于累加项 ${\sum }_{i=1}^n(C_{n-1+i}^i{x}^i)$, 由于问题没有要求取模, 所以没法用阶乘来算 (因为最高需要 200 的阶乘), 所以我使用杨辉三角来建表计算.

代码 (C 语言)

#include <stdio.h>
#include <string.h>
long long coeff[101];
long long temp[101];
long long c[100][100];
int m, n;
long long mom(int i) {
	return c[n+i-1][i];
}
int main() {
	// 杨辉三角建表
	for (int i = 0; i <= 100; i++) {
		c[i][0] = c[i][i] = 1;
		if (i < 2) continue;
		for (int j = 1; j < i; j++) c[i][j] = c[i-1][j-1] + c[i-1][j];
	}
	while (scanf("%d%d", &n, &m) != EOF) {
		int total = 0;
		memset(coeff, 0, sizeof(coeff));
		coeff[0] = 1;
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			int from, to;
			scanf("%d%d", &from, &to);
			total += from;	
			int count = to - from + 1;
			// 暴力展开累乘项中每一个项的系数
			for (int k = 0; k <= 100; k++) temp[k] = coeff[k];
			for (int k = 0; k + count <= 100; k++) temp[k+count] += -1 * coeff[k];
			for (int k = 0; k <= 100; k++) coeff[k] = temp[k];
		}
		int need = m - total;
		long long ans = 0;
		for (int j = 0; j <= need; j++) {
			ans += coeff[j] * mom(need-j);
		}
		printf("%lld\n", ans);
	}
}

总结

一个月前的我可能看见母函数就一脸懵逼, 现在总算是会一点了QAQ