79、有限主义、算术系统及数学的可变性探讨

有限主义、算术系统及数学的可变性探讨

在数学的研究中，我们常常探索各种理论和概念，以理解数字的本质、运算的规律以及数学真理的存在性。这里将围绕一些特定的数学理论展开，探讨它们的性质、一致性以及可能带来的影响。

算法与归纳

在寻找满足性质 (P) 的数 (x) 时，有一种基于二分查找的算法。对于给定的 (n)，取 (n/2) 并向下取整得到 (n_1)，测试 (P(n_1)) 是否为真。若为假，则聚焦于区间 ([0, n_1])；若为真，则聚焦于 ([n_1, n])。然后不断将区间近似平分，直到区间长度为 2。这个过程大约需要进行 (\log_2 n) 次。由于检查 (P(x)) 的真假需要时间 (m)，且 (m) 和 (\log_2 n) 都在 (L_{phys}) 中，根据公理 1，(L_{phys}) 对乘法封闭，所以 (m \cdot \log_2 n \in L_{phys})，这意味着我们有足够的时间和空间运行该算法找到满足 (P(x)) 且 (P(x + 1)) 不成立的 (x)。这一论证表明，自然数 (N) 的归纳法可从 (L) 的归纳法推出，而 (L) 的归纳法是合理的，因为当 (n) 在 (L) 中时，我们有足够时间测试小于 (n) 的每个数。

公理 3 引发了一个问题：是否可以使用更高效的计算方式来强化归纳公理。概率算法和量子算法是容易想到的方向。虽然已经有对概率多项式时间计算进行形式化的理论研究，但量子计算的形式化更为困难，目前还没有与多项式时间量子计算相关的理论。在考虑推广之前，我们应该先测试这个更简单的理论。

与 Vopěnka 替代集合论的比较

理论 (T_{PhN}) 让人联想到 Vopěnka 的替代集