76、数学公理与大基数公理探讨

数学公理与大基数公理探讨

接受公理的含义

在探讨数学公理时，一个人所接受为真的事实集合过于复杂，难以形式化。我们大脑中的信息结构极为复杂，若严格运用逻辑，甚至可能发现其存在不一致性。不过，这种复杂性和可能的不一致性与数学假设的逻辑强度并无关联。

要确定数学事实的逻辑强度，我们无需考虑一个人所知的所有定理，只需关注其使用的公理。比如，我们可以直接询问一个人相信集合论中的哪些公理，以此了解其数学假设的强度。若仅依据这些公理，而非其全部知识，构造哥德尔句子也会相对简单。

然而，一个人所相信的公理并非精确界定的。数学家通常会称其假设就是策梅洛 - 弗兰克尔集合论（ZFC）的公理，但当被问及是否接受 Con(ZFC) 为真时，他们也会给予肯定答复，并且对于 Con(ZFC + Con(ZFC)) 等类似问题，答案同样如此。

一些数学哲学家认为人类拥有某种高级能力，使其能够识别真理。但这并非科学的解释，实际上，若数学家将某个集合论（或其他理论）T 作为数学基础，他们会默认 T 是可靠的。因为若 T 可靠，那么诸如 T + Con(T) 这样的扩展理论也会是可靠的。若假设算术可靠性，我们还能得到所有反射原理，甚至是它们的迭代。

当我们进一步询问数学家，其假设是否能用 ZFC + ArithSound(ZFC) 来刻画时，他们可能会表示不理解或不在意。若他们认可这一表述，我们又会面临新问题：表达其理论一致性的句子 Con(ZFC + ArithSound(ZFC)) 是否为真？此时，仅假设 ZFC 具有算术可靠性已不足够，因为 ArithSound(ZFC) 并非算术句子，我们需要更高阶的可靠性概念，这会使我们逐渐深入集合论，情况也会变得愈发模糊。