75、算术理论中的一致性、真理与存在

算术理论中的一致性、真理与存在

1. 理论的扩展与反射原理迭代

在算术理论中，存在不同强度的理论。例如，EA（Elementary Arithmetic）理论相对较弱，它通过声明指数运算为全函数来定义（常表示为 (I\Delta_0 + Exp) ），与皮亚诺算术（PA）相比，其强度要低很多。有定理表明，本质上所有的归纳公理都可以用统一反射原理来替代。

通过统一反射原理迭代扩展理论，可得到如下理论序列：
[
\begin{align }
T_{RFN_0}&= T\
T_{RFN_1}&= T_{RFN_0}+RFN(T_{RFN_0})\
T_{RFN_2}&= T_{RFN_1}+RFN(T_{RFN_1})\
&\cdots
\end{align }
]
如果 (T) 是算术可靠的理论，那么上述所有理论都是算术可靠的。这是一个严格递增的序列，因为 (T_{RFN_{n + 1}}) 能证明 (T_{RFN_n}) 的一致性。并且，该序列的增长速度比仅添加一致性陈述的序列更快，因为添加统一反射原理的作用比添加一致性更强。实际上，在序列的任意两个连续元素之间，都可以插入一个类似的无限序列。

2. 一致性与反射原理的超限迭代

若要从理论 (T) 算术可靠这一假设中获得更强的结论，自然的做法是对理论序列进行超限扩展。这一想法最早由图灵在 1939 年提出。

2.1 一致性的添加操作

先考虑添加一致性的操作。为了扩展序列，定义 (T_{Con_{\omega}}) 为所有 (