74、数学理论中的一致性、真理性与存在性

数学理论中的一致性、真理性与存在性

在数学理论的研究中，一致性、真理性和存在性是几个核心且相互关联的概念，它们对于构建和评估数学理论起着至关重要的作用。

1. Π₁ 句子与理论扩展

在数学逻辑里，Π₁ 句子有着特殊的地位。对于一个理论 T，扩展为 ConT 时会得到新的 Π₁ 句子，然而扩展为 ¬ConT 却不会产生新的 Π₁ 句子。类似地，添加大基数公理能得到新的 Π₁ 句子，而接受该公理的否定则无法得到。以连续统假设为例，它及其否定都没有 Π₁ 结果，至今我们也没有确凿的论据来判定其真假。

2. 一致性强度

数学基础理论的目的是提供一个框架，让我们能够形式化数学概念，并表示关于这些概念的定理证明。逻辑学家还会用这些理论来证明其他理论的一致性。实际上，证明一致性并非这些理论的特殊用途，而是非常关键的。如果一个理论 T 能证明一阶逻辑的完备性定理，那么在 T 中，一个理论 S 的一致性就等价于 S 存在一个模型 M。

一个适合作为数学基础的理论，应该足够强大以证明所有基本定理，尤其要能证明完备性定理。虽然有人可能认为完备性定理属于逻辑范畴，对主流数学不重要，但证明它只需要非常弱的集合论公理，所以一个无法形式化该证明的理论是很弱的。因此，作为基础的理论应尽可能多地证明一致性，即具有较大的一致性强度。

我们将理论 T 的一致性强度定义为 T 可证明的所有形如 Con(S) 的句子的集合，其中 Con(S) 是理论 S 一致性的形式化表达。如果 T 是 Σ - 一致的，那么它只能证明一致理论的一致性。同时，我们也可以用 Π₁ 句子来定义一致性强度，因为形如 Con(S) 的句子是 Π₁ 句子，并且对于每个 Π₁ 句子 φ，