70、证明复杂性与数学基础的哲学思考

证明复杂性与数学基础的哲学思考

在数学的研究中，证明复杂性和数学基础的哲学思考是两个至关重要的领域。它们不仅影响着我们对数学本质的理解，还在实际应用中有着深远的意义。

证明复杂性的世界分类

在证明复杂性的研究中，存在着不同的“世界”分类，这些分类基于不同的复杂度假设，反映了不同的计算和证明特性。
- Algorithmica世界 ：在这个世界中，P = NP（或者至少NP ⊆ BPP）。这是追求高效计算的人的理想世界，因为在这个世界里，不仅可以解决所有NP问题，还能解决多项式搜索问题、找到最优解等。
- Cryptomania世界 ：这个世界存在困难问题，但它的优势在于可以实现所有所需的密码学技巧。大多数人认为我们所处的世界就是这样，但要证明这一点，只需证明因式分解是困难的，然而一些专家对此表示怀疑。
- Pessiland世界 ：这是一个糟糕的世界，在这个世界里，既不能高效地计算NP问题，也无法进行密码学操作。这里的困难问题不能用于隐藏信息，特别是单向函数不存在。
- Heuristica世界 ：P不等于NP，但仍然可以以高概率高效地解决NP问题的随机实例。
- Minicrypt世界 ：在这个世界里，由于存在单向函数和伪随机生成器，可以进行一些基本的密码学操作，但没有安全的公钥系统。

从证明复杂性的角度，还有另一种自然的分类：
|分类|描述|
| ---- | ---- |
|a. P = NP|可以在多项式时