69、可行不完备性：计算复杂性与证明复杂性的深度探索

可行不完备性：计算复杂性与证明复杂性的深度探索

1. 理论与证明系统的转换

在逻辑和计算复杂性的研究中，理论和证明系统之间存在着紧密的联系。如果存在一个理论 (S)，它能够快速证明所有有限一致理论的 (Con_T(n))（表示理论 (T) 在长度为 (n) 内的一致性），那么对应的证明系统 (P_S) 将是长度最优的。反之，如果一个证明系统 (P) 是长度最优的，那么以“(P) 是一个可靠的证明系统”为公理的理论 (S) 也能快速证明 (Con_T(n))。

2. 相关猜想介绍

• 猜想 4 及加强版猜想 5 ：猜想 4 未明确给定理论 (S) 时，理论 (T) 的强度以及证明长度的下界。通常使理论更强的方法是添加其一致性（根据第二不完备性定理，该一致性在理论自身中不可证）。对于下界，我们可以推测它接近已知的指数级上界。由此引出了更强的猜想 5：设 (S) 和 (T) 是有限公理化的一致理论，如果 (T) 证明了 (S) 的一致性，那么 (Con_T(n)) 在 (S) 中的最短证明长度是指数级的。
• 关于 (\forall x\exists y \varphi(x,y)) 形式句子的猜想 6 ：这类句子中，(\varphi) 表示一个多项式时间可计算的二元关系。之前我们看到过此类形式的独立句子，其独立性源于理论无法证明快速增长函数的存在性。在本章中，我们用这类句子定义了总多项式搜索问题（TPS）类。总意味着 (\forall x\exists y \varphi(x,y)) 为真，多项式意味着关系 (\varphi) 可在多项式时间内判定，且对于给定的 (x)，满足