67、命题证明与复杂度研究

命题证明与复杂度研究

1. 证明独立性的意义与动机

在研究命题证明时，我们关注某些句子在特定理论中的可证明性。证明某些句子在 $\Theta_P$ 中不可证明，虽然看似是一个较弱的结果，但却有重要意义。$\Theta_P$ 相较于皮亚诺算术、策梅洛 - 弗兰克尔集合论以及更强的集合论（通过向策梅洛 - 弗兰克尔集合论添加大基数公理得到）都要弱很多。我们的目标并非为最强的理论展示独立性结果，而是想了解在特定理论中哪些是可证明的。我们探究 $\Theta_P$ 中可证明的内容，是为了证明它比 $\Theta_{NP}$ 更弱，同时也期望掌握证明 $\Theta_P$ 独立性结果的方法后，能将其应用于其他理论。

此外，证明独立性结果还有另一个重要原因。除非理论 $T$ 非常弱，否则证明 $\Pi_P$ 句子相对于 $T$ 的独立性，我们通常只有一种通用方法，即使用哥德尔定理。然而，哥德尔句子对于证明具体数学定理的独立性并无用处，因此我们需要寻找其他方法，而证明命题证明的下界就是一种替代方案。

2. 证明复杂度与计算复杂度的对比

证明复杂度和计算复杂度有许多相似之处，以下是一些对应概念的对比：
| 计算复杂度 | 证明复杂度 |
| — | — |
| 复杂度类 | 理论 |
| 基本操作 | 基本公理 |
| 有限资源的计算 | 限制在某类公式上的归纳法 |
| P 与 NP 问题 | $\Theta_P$ 与 $\Theta_{NP}$ 问题 |
| 电路 | 命题证明 |

尽管在大多数情况下，这种对应关系缺乏正式定义的支撑，但相似性十分明显。这表明这两个领域从不同角度研