65、证明复杂度与命题证明的深入探讨

证明复杂度与命题证明的深入探讨

一、相对化理论与分离证明

在逻辑与计算复杂性的研究中，相对化理论是一个重要的概念。以获取 $\Theta P[R]$ 为例，我们先在扩展语言中定义尖锐有界公式，其方式与原语言类似，只是现在可以使用 $R$。接着将归纳方案扩展到这些公式。

句子中涉及 $R$ 的解释是，该句子对所有子集 $R$ 都成立。$R$ 的计算解释如同一个“神谕”，能免费获取额外信息。带有 $R$ 的理论与带神谕的复杂度类表现极为相似，不同之处在于，复杂度理论中的神谕是明确的集合，而在逻辑中它只是一个变量。我们按照复杂度理论的术语，将扩展后的理论称为相对化理论。

如同在复杂度理论中一样，我们可以证明相对化分离。特别地，无需任何未证明的假设，我们就能证明：
$\Theta P[R] \neq \Theta NP[R] \neq \Theta \Sigma_p^2 [R] \neq \Theta \Sigma_p^3 [R]…$
这是通过将相对化有界算术层次的坍塌归结为相对于神谕的多项式层次的坍塌来证明的。J. Håstad 证明了存在一个神谕，相对于该神谕多项式层次不会坍塌。

二、命题证明的起源与可行构造性证明

回到 20 世纪 70 年代证明复杂度的起源。在定义了 $P$ 和 $NP$ 类之后，Cook 试图在逻辑中找到与 $P$ 类相对应的概念。一旦我们将多项式时间计算视为可行计算的自然形式化，那么似乎应该有一个类似的概念来表示可行证明。多项式时间计算是指执行多项式数量的基本步骤以产生结果的计算，逻辑中对应的概念应该是由多项式数量的基本步骤组成的证明，因此我们只需定义基本证明步骤。然而，这个问题并非乍看之下那么简