60、计算与证明复杂度的探索

计算与证明复杂度的探索

1. 复杂度基础概念

复杂度是计算问题的固有属性，主要可分为时间复杂度、空间复杂度等类型。目前，计算复杂度领域仍存在许多尚未解决的基础问题，其中最为关键的是“P 是否等于 NP”。

利用随机比特能够加快某些问题的求解速度。同时，伪随机性在一些计算中可替代真正的随机性，并且它在密码学中是一个至关重要的概念。要证明安全的密码学是可行的，需要确保一些比“P ≠ NP”更强的猜想成立，比如存在单向函数，或者等价地存在伪随机生成器。

有些函数可以通过将任务拆分为多个可并行计算的子任务来加速计算。有迹象表明（但尚未得到正式证明），量子计算机能够比经典计算机更快地解决某些问题，例如整数分解。当量子计算机被成功制造出来后，我们将能够运用已知算法完成在经典计算机上无法实现的计算任务。

字符串的柯尔莫哥洛夫复杂度，即描述该字符串的最小长度，是一个实用的理论概念，特别是它能帮助我们定义不可压缩的字符串。

2. 逻辑与证明复杂度的兴起

当数学家意识到数学不能仅仅基于对数学实体的直觉，而需要引入公理系统并使推理形式化时，逻辑的重要性便凸显出来。而且，我们永远无法为数论和集合论找到一套完整的公理。因此，逻辑在研究从特定公理集可证明的内容，以及更重要的，研究不可证明的内容方面，都发挥着重要作用。

为了实现这一目标，逻辑学发展出了两个领域：证明论和模型论。证明论旨在通过语法手段研究可证明性，即实际研究证明过程；而模型论则通过模型来证明一个句子不可证明（只需找到一个满足公理但不满足该句子的模型即可）。这两个领域都有更广泛的应用。

当我们无法从一组公理中证明一个定理时，原因可能并非该定理不