59、描述复杂度：从科尔莫戈罗夫复杂度到数学理论的拓展

描述复杂度：从科尔莫戈罗夫复杂度到数学理论的拓展

在计算复杂度的研究领域中，科尔莫戈罗夫复杂度是一个重要的概念。它为我们理解信息的描述和计算提供了独特的视角。然而，这个看似强大的工具却有着一些令人意外的特性。

科尔莫戈罗夫复杂度的不可计算性

科尔莫戈罗夫复杂度是指对于一个有限二进制字符串 (x)，函数 (x \to C(x)) 表示描述该字符串所需的最短程序的长度。但遗憾的是，这个复杂度是不可计算的。这主要是因为停机问题的不可计算性。

停机问题是指对于给定的图灵机 (T) 和有限字符串 (x)，判断图灵机 (T) 在以 (x) 为输入启动后是否最终会停止。即使使用通用图灵机 (U)，停机问题仍然是不可判定的。

假设我们要计算长度为 (n) 的字符串 (x) 的科尔莫戈罗夫复杂度 (C(x))。我们知道 (C(x) \leq n + c)（其中 (c) 是一个可计算的常数），所以我们只需要在通用图灵机 (U) 上运行所有长度小于等于 (n + c) 的字符串。如果 (n) 较小，我们可能会幸运地找到一个字符串 (p)，使得 (U(p) = x)，并且在所有更短的字符串上 (U) 停止并输出不同于 (x) 的字符串，此时 (C(x)) 就是 (p) 的长度。但存在一些字符串 (q) 会使 (U) 不停机。如果 (C(x)) 大于 (q) 的长度，我们即使找到了最短的 (p) 使得 (U(p) = x)，也无法确定 (p) 就是最短的，因为我们无法确定 (U) 在 (q) 上是否会停机。

除了计算上的不可行，在数学证明中也存在问题。有定理表明，对于一个由有限公理列表公理化的健全理论 (T)，存在一个自然数 (k_T)，使得对于任何具体的字符串 (