58、量子证明、外星通信与描述复杂度

量子证明、外星通信与描述复杂度

量子证明

在量子领域，证明可以被看作是一个重写过程。初始状态通常是一串表示真值的 ⊤ 符号。每一步，我们通过演绎规则对字符串进行重写。若一个命题出现在这样得到的字符串中，那么该命题就被证明了。

在量子环境下，我们应用量子演绎规则，因此每一步都会得到命题字符串的线性叠加。要证明一个命题 φ，只需让 φ 以足够大的振幅出现即可。为了将这个重写过程形式化，我们使用量子电路。从形式上来说，量子证明就是具有特定性质的量子电路。

可以证明，这样的量子证明能够编码与电路规模基本相同的经典证明（针对相同的命题）。然而，有观点认为，一般情况下，很难在多项式时间内从量子证明中提取出经典证明，甚至使用量子电路也可能无法做到。这意味着理论上我们可能能够用量子电路证明一个命题，但却无法给出经典证明，尽管我们知道存在一个长度不算太长的经典证明。

与外星文明的通信

假设我们已经能够建造量子计算机，那么向宇宙发送“我们拥有量子计算机”这样的信息是合理的，这能向接收者表明我们在物理和数学等科学领域已经相当先进。此前发送的阿雷西博信息就包含了类似内容，它展示了我们对生命基础的认知——一个双螺旋结构的图片。

但如何构建这样的信息是一个有趣的问题。我们希望发送一个只有用量子计算机才能解决的问题的解决方案。我们认为，分解一个大的随机数就是这样的问题。然而，如果我们发送一个大数字及其因数，对方怎么知道我们不是编造的呢？因为我们可以在不使用量子计算机的情况下随机生成两个大素数并计算它们的乘积。如果是双边通信，问题会变得简单，我们可以让对方发送一个待分解的数字，但假设外星文明距离我们太过遥远，这种方式不可行。

一