52、计算复杂性与随机化相关知识解读

计算复杂性与随机化相关知识解读

在计算领域，有诸多复杂且重要的概念和技术，它们在密码学、算法设计等方面有着广泛的应用。下面将为大家详细解读其中的一些关键内容。

离散对数问题的复杂性

离散对数问题的逆问题复杂性是一个关键研究点。目前已知一些解决离散对数问题的算法，但它们都需要指数时间。由于数论领域对该问题进行了长期研究，却仍未找到高效算法，因此合理推测不存在多项式时间算法。

离散对数函数有一个非常有趣的性质：若在最坏情况下该问题很难解决，那么在平均情况下同样困难。并且我们可以证明这一性质，证明过程相对简单。假设存在算法 M 能以至少 (n^{-c}) 的概率为随机输入求解离散对数（其中 (n) 是输入长度，(c) 是常数），我们可以定义算法 (M’) 来以相同概率为任意给定输入求解。(M’) 先选取随机数 (r)，计算 (y = y’g^r)，然后将 (y) 输入 (M) 得到 (x)，最后输出 (x - r)。若 (M) 成功找到 (x = \log_g y)，则 (x = \log_g y’g^r = \log_g y’ + \log_g g^r = \log_g y’ + r)，所以 (M’) 能找到 (\log_g y’)。通过多项式多次重复 (M) 的操作，可使概率任意接近 1。

我们认为分解因数和离散对数是困难函数，主要是因为尽管数论学家对这些问题有深入研究，但仍缺乏高效算法。与 NP 完全问题不同，对于这两个函数，我们没有类似证明它们是 NP 类中最困难问题的结果。

概率素性测试

Agrawal - Kayal - Saxena 测试的多项式界限仍然较大，实际中更适合使用之前发现的更快的概率素性测试。例如