50、计算复杂性中的随机、交互与密码学

计算复杂性中的随机、交互与密码学

在计算领域，我们常常会遇到各种复杂的问题，其中图同构问题、零知识证明、密码学等都是重要的研究方向。下面我们将深入探讨这些概念及其相互关系。

图同构问题

图同构问题是一个在NP集合中既不确定属于P也不确定是NP完全的罕见例子。我们通常研究的是证明两个图不同构，而非同构。因为证明不存在性往往更困难，且我们希望找到一种适用于所有不同构图对的方法。

为了解决这个问题，L. Babai引入了一个交互式协议，涉及两个角色：Arthur和Merlin。Arthur只能进行多项式时间的计算，但他可以抛硬币；Merlin则拥有无限的计算能力，能轻松识别图是否同构，但他不可完全信任。

当Merlin带着两个图G和H来劝说Arthur它们不同构时，具体流程如下：
1. Arthur收到图后，让Merlin离开。
2. Arthur抛硬币选择一个图，再多次抛硬币随机置换所选图的顶点，得到图F。
3. Arthur召回Merlin，展示F并询问是用G还是H构造的F。
- 如果G和H不同构，Merlin能正确回答。
- 如果G和H同构且Merlin想作弊，他答对的概率为1/2。通过多次展示这样的图，可将错误概率降低到(1/2)^k。

这个协议表明图同构问题不太可能是NP完全的，但我们还需要证据证明它不在P中。

以下是这个过程的mermaid流程图：

graph LR
    A[Arthur收到G和H] --> B[Arthur让Merlin离开]
    B --> C