49、计算复杂性：随机性、交互性与密码学的奥秘

计算复杂性：随机性、交互性与密码学的奥秘

1. 代数复杂性理论中的“简单”问题

在代数复杂性理论中，有一个看似简单的问题。对于任意 $n \geq 1$，存在一个实 $n×n$ 矩阵 $A$，使得对于 $A$ 分解为两个 $n×n$ 实矩阵 $X$ 和 $Y$ 的任意乘积 $A = XY$，$X$ 和 $Y$ 中非零元素的总数至少为 $n^2$。这个结论的证明基于代数几何的基本事实，即不能用少于 $n^2$ 个数字来参数化 $n×n$ 矩阵的簇。

然而，目前的难题是明确地定义这样的矩阵。虽然问题表述简单，但解决起来似乎非常困难。目前，对于明确定义的矩阵所能证明的最佳下界仅为 $c · n(\log n / \log \log n)^2$（其中 $c > 0$）。

2. π 中编码的信息

假如像卡尔·萨根的小说《接触》中那样，一个圆的图像真的由 π 的数字编码，或者存在某个能够改变数学规律的超级文明的信息编码在其中，我们能否找到它呢？

这个假设性问题的答案取决于信息所在的位置：
- 信息在开头 ：如果信息由开头的“小”数字段编码，我们肯定会注意到。
- 信息在中间范围 ：由于 π 的数字可以高效计算，我们可以计算中间范围内任何短段的所有数字，但我们必须知道包含信息的段在哪里；否则，搜索整个中间范围几乎肯定会失败，除非极其幸运。不过，由于 π 的数字不是随机数，不排除我们可以通过数学推理间接确定这样的段，只是如果不知道信息内容，这可能非常困难。
- 信息在大数位 ：如果信息由大数位上的数字编码，我们只能依