48、计算复杂度的多面剖析

计算复杂度的多面剖析

1. 矩阵乘法复杂度

矩阵乘法的复杂度研究揭示了我们对复杂度的初始直觉可能存在偏差。Strassen 算法虽使用 25 次运算，而定义式仅需 12 次，但它减少了乘法次数，在递归应用中展现出优势。当矩阵维度趋于无穷时，其渐近复杂度为 $n^{\log_2 7}=n^{2.8073…}$，优于定义式的 $n^3$，当前最佳算法可达 $n^{2.3727}$。这表明自然的计算方式未必是最优的，专家推测矩阵乘法上界的指数可接近 2，但难以证明其操作次数与 $n^2$ 呈线性关系。

算法	渐近复杂度
定义式	$n^3$
Strassen 算法	$n^{2.8073…}$
当前最佳算法	$n^{2.3727}$

2. 时间可构造函数

时间可构造函数是时间层次定理所需的特殊概念。若存在图灵机 M，对每个长度为 n 的输入字，在恰好 f(n) 步后停止，则函数 f 是时间可构造的。这一概念用于在对角化可在时间 f(x) 内计算的集合时，截断模拟计算。自然出现的时间界函数通常是时间可构造的，但某些人为定义的函数会使时间层次定理失效。

3. 乘法复杂度

加法两个 n 位数字的渐近时