46、计算复杂度相关问题探讨

计算复杂度相关问题探讨

1. 复杂度的定义与分类

在实际计算中，我们通常关注输入规模处于“中等大小”的情况，而不太在意“大”输入的情况。为了完成特定任务，我们可能会花费大量精力设计专用电路，之后就能进行高效计算。从理论角度看，在固定输入规模时，电路和图灵机并无区别。

这里涉及到两个重要的复杂度类：
- P类 ：可以由小型程序高效计算的问题类。
- 非均匀P类（nonuniform - P） ：使用可能难以生成的程序进行高效计算的问题类。

关于非均匀复杂度类的主要问题是，有多大的均匀复杂度类包含在非均匀P类中。我们推测，P的合理均匀扩展类都不包含在非均匀P类中，特别是猜想NP不是非均匀P类的子集，但目前甚至无法证明EXP不包含在非均匀P类中。

图灵机计算转换为电路的一个重要应用是在NP完全性理论中。

2. 证明P ≠ NP的尝试

2.1 对角线法的局限性

最初想到的证明P ≠ NP的方法是使用证明某些问题算法不可解时采用的对角线法。该方法起源于康托尔证明实数集（或等价地，自然数集的所有子集的集合）的基数大于自然数集的证明。当需要分离由限制相同计算资源定义的两个复杂度类时，对角线法效果很好，比如分离时间复杂度类对和空间复杂度类对。但当需要分离不同类型的复杂度类时，它就不起作用了。

考虑一个典型的基于对角线法的证明，如时间层次定理的证明，它几乎不使用图灵机如何计算的信息，不考虑计算步骤是简单操作（读取输入符号、重写它并将磁头移动到相邻方格）这一事实。如果允许图灵机使用某些复杂操作，证明