43、数学中的不可能性证明与计算复杂性

数学中的不可能性证明与计算复杂性

在数学的广阔领域中，有两个重要的概念值得深入探讨，即不可能性证明和计算复杂性。它们不仅在理论研究中具有重要意义，也与我们的日常生活和实际应用息息相关。

不可能性证明

在数学里，许多重要结果都以不可能性证明的形式呈现。这些证明往往颇具难度，即便问题本身的表述可能很基础，但证明过程却需要运用抽象概念。

例如，哥德尔不完备定理的证明基于一个类似说谎者悖论的公式。它利用了逻辑语言表达自指句子的能力，其中不可证明的句子等同于理论的一致性。类似的论证也用于证明某些问题在算法上不可解，还能从相关问题的不可判定性证明中推断出某些句子的不可证明性。

在数学的各个分支，如数论和几何中，都能找到算法上不可解的问题。在有限集合论中，也能证明一些具体数学问题的不可证明性，但证明方法要求问题编码非常快速增长的函数。

此外，保罗·科恩发明的力迫法是一种非常有效的方法，可用于证明集合论中的许多独立性结果，包括连续统假设的独立性。不过，该方法仅适用于关于无限集合的句子。

还有一个与不可能性证明相关的重要公理——马丁公理。当需要用连续统假设证明一个定理时，可认为该定理对可构造集成立。但连续统假设的许多推论与它的否定是一致的。1970年，马丁和索洛维提出了一个与连续统假设的否定一致的公理，即马丁公理。它能证明连续统假设（非否定形式）的许多推论。

马丁公理的表述如下：设 $(P,≤)$ 是具有可数链条件的偏序集，$D$ 是 $(P,≤)$ 的稠密子集的集合，且 $D$ 的基数严格小于 $2^ω$，那么存在一个滤子 $F$ 与 $D$ 的所有元素相交。

计算复杂性