35、数理逻辑中的不可证明性与真理不可定义性

数理逻辑中的不可证明性与真理不可定义性

1. 证明所需的条件

在探讨不完备性定理的证明之前，需要明确几个关键条件：
1. 理论 T 的可靠性 ：理论 T 是可靠的，意味着所有在 T 中可证明的句子都是真的。此条件蕴含了理论的一致性（若 T 不一致，则能证明 0 = 1，这是一个错误的算术句子）。使用该条件有两个原因，一是使证明更简单，二是便于解释哥德尔的原始证明以及第二不完备性定理的证明。实际上，由于证明中仅特定逻辑复杂度的句子起作用，可弱化该条件，仅要求该复杂度的可证明句子为真，哥德尔使用 ω - 一致性就是这样做的。
2. 理论 T 的公理集可判定 ：存在一个算法能判定一个句子是否为 T 的公理。这里所考虑的理论都满足此条件，有时会用“形式理论”强调这一事实。
3. 理论 T 与可形式化语法的理论兼容 ：
- 对于第一不完备性定理，只需 T 能扩展为一个一致的、可形式化语法的理论。
- 对于第二不完备性定理，要求更强，即 T 自身就能形式化语法。

这些条件虽表述不严格，但可通过形式化可证明性谓词并使其满足某些可推导条件来精确化。对于应用而言，给出理论 T 中应可证明内容的一些最低要求更好，例如 T 能证明算术运算的一些基本性质，或在集合论中能证明一些关于集合的简单定理。

2. 第一不完备性定理的证明

2.1 构造自指句子

为证明第一不完备性定理，假设 T 是可靠的理论，需构造一个在 T 中不可证明的句子 γT。γT 是一个自指句子，非正式地表达“这个句子在 T 中没有