40、图论与几何学习中的拉普拉斯矩阵及相关方法

图论与几何学习中的拉普拉斯矩阵及相关方法

在图论和几何学习领域，拉普拉斯矩阵及其相关概念扮演着重要角色。本文将深入探讨拉普拉斯矩阵的功能、不同版本，以及一些传统的几何学习方法和新兴的Node2Vec方法。

拉普拉斯矩阵的功能

假设图的顶点具有特征 $x = [x_0, x_1, \ldots, x_{n - 1}]^T$，拉普拉斯矩阵 $L$ 可视为作用于这些特征的算子。对特征 $x$ 应用图的拉普拉斯算子 $Lx$，有 $Lx = Dx - Ax$。

其中，$Dx$ 中第 $i$ 项为 $d_ix_i$，$Ax$ 中第 $i$ 项为 $e_{i0}x_0 + e_{i1}x_1 + \cdots + e_{i(n - 1)}x_{n - 1}$。那么 $Lx$ 的第 $i$ 项为：
[d_ix_i - \sum_{j = 0}^{n - 1}e_{ij}x_j]

若仅考虑与顶点 $i$ 有边相连的顶点 $j$，设 $i$ 的直接邻接顶点集为 $N(i)$，上述表达式可简化为：
[d_ix_i - \sum_{j \in N(i)}x_j = d_i\left(x_i - \frac{1}{d_i}\sum_{j \in N(i)}x_j\right)]

这里，$\frac{1}{d_i}\sum_{j \in N(i)}x_j$ 可看作顶点 $i$ 周围的局部特征平均值，而 $x_i - \frac{1}{d_i}\sum_{j \in N(i)}x_j$ 则衡量了顶点 $i$ 的特征与其局部平均值的差异。

与欧几里得域拉普拉斯算子的比较

欧几里得域中的拉普拉斯算子为：