5、概率与统计基础：从基础概念到常见分布

概率与统计基础：从基础概念到常见分布

1. 事件概率的基本规则

1.1 事件交集的链式法则

对于两个事件的交集乘积规则可以扩展到 n 个事件。如果 (A_1, A_2, A_3, \ldots, A_n) 是 n 个事件的集合，那么这些事件的联合概率可以表示为：
[P(A_1A_2A_3\cdots A_n) = P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)\cdots P(A_n|A_1A_2\cdots A_{n - 1})]

1.2 互斥事件

如果两个事件 (A) 和 (B) 不会同时发生，则称它们为互斥事件。换句话说，如果 (P(AB) = 0)，那么 (A) 和 (B) 是互斥事件。对于互斥事件，有 (P(A \cup B) = P(A) + P(B))。一般来说，n 个互斥事件的并集概率可以写成它们各自概率之和：
[P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n) = P(A_1) + P(A_2) + \cdots + P(A_n)]

1.3 事件独立性

如果两个事件 (A) 和 (B) 的交集概率等于它们各自概率的乘积，即 (P(AB) = P(A)P(B))，则称 (A) 和 (B) 是独立事件。这是因为在 (B) 发生的条件下 (A) 发生的条件概率与 (A) 本身发生的概率相同，即 (P(A|B) = P(A))。同样，对于 (A) 和 (B) 独立，也有 (P(B|A) = P(B))。当两个事件独立时，其中一个事件的发生不会影响另一个事件发生的概率。

1.4 条件独立性

给定第三个事