24、距离模型：邻居与示例点的奥秘

距离模型：邻居与示例点的奥秘

1. 不同坐标的距离度量

在实例空间中，当不同坐标以不同速度被遍历，使用不同的尺度来度量距离是很有用的。例如，对于人来说，水平移动比垂直移动更容易，因此用椭圆而不是圆来确定在固定时间内可到达的点更为现实。椭圆的长轴表示可以更快遍历的方向，并且椭圆还可以旋转，使其长轴不与任何坐标轴对齐，比如可以是高速公路的方向或风向。

从数学角度来看，半径为 (r) 的超球体（二维及以上的圆）可以用方程 (x^Tx = r^2) 定义，而超椭圆则由 (x^TMx = r^2) 定义，其中 (M) 是一个描述适当旋转和缩放的矩阵。

例如，考虑以下矩阵：
(R =
\begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \
-\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{bmatrix})
(S =
\begin{bmatrix}
\frac{1}{2} & 0 \
0 & 1
\end{bmatrix})
(M =
\begin{bmatrix}
\frac{5}{8} & -\frac{3}{8} \
-\frac{3}{8} & \frac{5}{8}
\end{bmatrix})

矩阵 (R) 表示顺时针旋转 45 度，对角矩阵 (S) 将 (x) 轴缩放为原来的 (\frac{1}{2})。方程 ((SRx)^T(SRx) = x^TR^TS^TSR