18、基于POT方法的广义帕累托分布（GPD）参数新估计器

基于POT方法的广义帕累托分布（GPD）参数新估计器

在许多实际应用中，准确估计广义帕累托分布（GPD）的参数至关重要。本文将介绍一种新的GPD参数估计方法，并通过模拟和实际的COVID - 19数据集应用来验证其性能。

1. 提出的估计方法

新估计器的核心思想是在POT（Peak - Over - Threshold）框架下，最小化经验分布函数和累积分布函数之间的平方和，同时结合似然矩估计器和最小二乘法。

假设我们有 $n$ 个观测值 $x_1, \cdots, x_n$，其中有 $n_u$ 个观测值大于阈值 $u$，记为 $z_1, \cdots, z_{n_u}$。我们要找到 $b$，使得经验分布函数 $F_n(x_i)$ 与GPD的累积分布函数 $F_{k(b), b}(x_i)$ 之间的平方偏差最小，并为每个平方偏差项添加合适的权重。

估计 $b$ 的公式为：
$\sum_{i = 1}^{n_u}[Var (U_{n - i + 1:n})]^{-1}[F_n (x_i) - F (x_i)]^2$

为了得到原始拟合问题的初始值，我们将经验分布函数的对数与GPD的累积分布函数的对数进行拟合。

拟合算法步骤如下：
1. 选择一个阈值 $u$，并使用大于 $u$ 的观测值计算 $F_n(x_i)$。
2. 分别取 $(1 - F_n(x_i))$ 和 $(1 - F_{k(b), b}(x_i))$ 的对数，其中 $F_{k(b), b}(x_i)$ 是GPD的累积分布函数，形状参数 $k$ 表示为 $b$ 的函数。将它们分别作为响应变量和解释变量，找到使下式最小的 $b$ 值： <